平子讲堂丨数学-南阳市张衡博物馆

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他是一个多才多艺的大科学家，精力充沛，视野广阔，心灵手巧而又勤于实践，学识渊精而又从不自满。他走进哪个领域，就在哪个领域里开出绚丽之花，结出丰硕之果。他在天文、历法、气象、地震、数学、地理、机械制造乃至测绘画图等一系列科学方面都有重要成就。

——田久川·《张衡传》

数学

数学，古称算学、算术，是中国古代科学中一门重要的学科，被纳为“六艺”之一。张衡一生在自然科学的诸多领域，如天文、历法、机械制造等方面均取得了不朽的成就，而这些研究领域是与数学密不可分的。例如，《灵宪》中八极之维、天广、地深的计算；《浑天仪图注》中黄道、赤道、周天度数及夹角的划分；指南车、计里鼓车等机械制造中齿轮、差转、力矩传动、车轮与距离的换算等，都离不开数学知识的运用。崔瑗赞誉张衡“数术穷天地”，范晔亦云其“尤致思于天文、阴阳、历算”、“通五经、贯六艺”。由此可知，张衡对数学是相当精通，并名播当世。

《后汉书·张衡传》载：“作浑天仪，著《灵宪》、《算罔论》，言甚详明。”唐李贤注曰：“衡集无《算罔论》，盖网络天地而算之，因名焉。”张衡的《算罔论》虽已失传，其详细内容不得而知，但据近人考究，其应为一部有关数学方面的著作。近代学者孙文青先生在其所著《张衡年谱》中考证说：衡最重玄，尝与崔瑗书，推崇太玄，并为作《玄图》，为《思玄赋》。玄极为罔，罔者无也，即易之无极也。衡于一二六年大疫上疏有‘尊灵见罔’云云，灵即太玄，罔即无极也。《算罔论》者，殆推演无极而算之也。其内容为如今之算理哲学。又考扬雄太玄：罔乃玄文中主要命辞之一。

陆绩《述玄》云：“易有元、亨、利、贞，玄有罔、直、蒙、酋、冥”。司马光注云：“五者《太玄》之德。罔者北方也，于易为贞。冥者未有形也。故……玄者起冬至，分贞以为罔、冥。罔者冬至以后，冥者大雪以前也！”扬雄《太玄》卷九《玄文》云：“罔、直、蒙、酋、冥；罔北方也，冬也，未有形也。……有形则复归于无形故曰冥”。罔为无极之说，已于《太玄》见之；衡之《算罔》非计算无极而何？计算于无形，故曰算理哲学也。不过算罔之与算哲，究有不能盖同者。

《玄文》又云：“罔者有之含也。罔含其气，直触其类，蒙极其修，酋考其就，冥反其奥。罔蒙相极，直酋相勅，出冥入冥，新故更代。”又云：“言出乎罔，行出乎罔，祸福出乎罔；罔之时玄矣哉”、“罔之时则可制也，八十一家，由罔者也”……衡之《算罔论》即衡之算理哲学，很有些近于原始自然辩证法，乃推算天体宇宙运动发展转变生灭之数理。

祖冲之之《缀术》（注：《缀术》为祖冲之、祖暅父子所著的一部数学著作，唐朝被收入《算经十书》，成为唐代国子监算学教科书，北宋时亡佚。），殆即附缀张衡《算罔论》之理，而更为发展者。惜二者皆失传，这是中国理论科学的重大损失。”由此可以看出，《算罔论》是在自然辩证法的基础上，运用我国古代算学知识，来对天地宇宙、日月星辰、阴阳四时、生死轮回进行推理演算，因此，称其为一部数学著作实不为过。

从流传下来的历史文献可知，张衡对圆周率也曾有过深入的研究，并取得了一定的成果。我国古代劳动人民在生产实践中很早就认识到了圆的周长与直径之间有一种固定的关系，但十分粗略。《周髀算经》中有“周三径一”的说法，即π=3，这是我国最为古老的圆周率，被称为古率。

西汉末期，刘歆因受王莽之命，仿周礼制铜斛的需要，得到了圆周率π=3.1547，这把“周三经一”大大推进了一步。到了张衡时期，他感到前人的结果误差较大，因此，他根据自己的实际需要对圆周率进行了重新计算。张衡的圆周率虽然没有直接的准确的数值可见，但从其科学著作中的论述及后人的引注中可知大概。

《灵宪》云：悬象著名莫大乎日、月。其径当周天七百三十六分之一，地广二百四十二分之一。对此，《开元占经》引用祖暅的话说：“张衡日月之径当天周七百三十六分之一，地广二百四十二分之一。据此而论，天周分母，圆周率也，地广分母，圆径率也。以八约之，得周率九十二，经率二十九，其率伤于周多经少，衡之疏也。”中国数学史家钱宝琮先生认为，张衡所谓周天即天的周长，地广即天的直径，天周除以地广即圆周率。同时，钱宝琮先生经过研究认为，《后汉书·天文志》所引《灵宪》“天周七百三十六分之一”中的“六”字为衍文，是多余的，“地广二百四十二分之一”中的“四”字有误，宜改为“三”字。因此，他得出张衡的圆周率π=730/232≈3.1466。

三国时期的数学家刘徽在其《九章算术注》中曾大量引用“张衡算”的内容，其中有“圆周率一十之面”的说法。清代数学家李潢对此进行了考证，认为张衡的“一十之面”就是十的平方根，亦即圆周率π=10≈3.1623。由此可见，张衡所推算的圆周率数值当在3.1466和3.1623之间。在对圆周率的探索过程中，张衡引入一些新的数学概念，并力图从理论上对其进行科学求证，这都可以通过刘徽的《九章算术注》中所引用的“张衡算”加以印证。张衡把立方体定名为质，把球体定名为立圆、浑。他深入研究过球、球的外切立方体、内接立方体的体积，以及它们之间的比率关系。他从丸柱误率出发，对前人立圆术中的数值进行了更为接近实际的修正，并把这种思路运用到圆周率的研究中。张衡的圆周率值在今天看起来还很粗略，误差较大，甚至不及前人，但是，他在圆周率的研究过程中找到了一个新的方向，开辟了一条新路子。在张衡之前，人们所循的圆周率的数值都是靠实测而完成，从来没有人企图从理论上求出圆周率的值。可以说，张衡是从理论上（对立圆术公式的解释及其数据）对圆周率进行求证的第一人，对后世的研究产生了巨大影响。